Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Доказательство. Пусть в конечномерном линейном пространстве L, размерности n, зафиксирован базис и задано линейное преобразование А. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Пусть в конечномерном линейном пространстве L, размерности n, зафиксирован базис и задано линейное преобразование А. Пусть , где , , тогда, поскольку , то , . С другой стороны, в силу линейности преобразования А,
.
Так как , то они так же могут быть разложены по базису . Пусть ,
, . Тогда, подставляя эти разложения в полученное выше представление для вектора у, получаем:
Выделяя коэффициенты при базисных векторах , приходим к равенству:
В силу единственности разложения вектора у по базису приходим к системе:
Вводя матрицы ,
систему можно представить в виде матричного уравнения:
.
Данное уравнение позволяет при известных матрице А и столбце координат Х вектора х найти столбец координат У вектора у. Единственность следует из единственности разложения образов базисных векторов и исходного вектора х по базису.
Определение 3. Матрица , столбцы которой – координаты образов базисных векторов при преобразовании А, называется матрицей линейного преобразования в базисе . Замечание. В тоже время, наоборот, в конечномерном линейном пространстве L, размерности n, с фиксированным базисом, каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие преобразование по правилу: если X - столбец координат вектора х в выбранном базисе, то - столбец координат вектора у в этом базисе, где . Более того, данное преобразование будет линейным. Действительно. 1) Если столбец координат вектора х – Х, столбец координат вектора у – У, то столбец координат вектора - . Столбец координат вектора , вектора , вектора , вектора . Так как , то свойство выполняется. 2) Если столбец координат вектора х - Х, то столбец координат вектора . Столбец координат вектора , вектора , вектора . Так как , то свойство выполняется. Таким образом, в конечномерном линейном пространстве L, размерности n, с фиксированным базисом существует взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями и квадратными матрицами размерности n. Как уже было отмечено выше, в конечномерном линейном пространстве вид матрицы линейного преобразования зависит от выбора базиса.
Выведем формулы для связи матриц линейного преобразования в двух базисах одного и того же конечномерного линейного пространства.
Пусть задано линейное пространство L размерности n, в котором заданы два базиса и , причем, известна матрица Т перехода от базиса к базису . Пусть линейное преобразование A в базисе имеет матрицу , а в базисе - матрицу . Пусть , где – столбцы координат векторов х, у в базисе ; - столбцы координат векторов х, у в базисе . В базисе .
Учитывая связь координат векторов х и у в базисах и : ,
получаем, что . Так как матрица перехода Т – невырожденная, то у неё существует обратная матрица . Умножая обе части получившегося равенства слева на , имеем: ,
,
.
С дугой стороны, в базисе , следовательно,
.
Нетрудно заметить (проделайте соответствующие выкладки самостоятельно), что .
Теорема 2. Величина определителя матрицы линейного преобразования в конечномерном линейном пространстве не зависит от выбора базиса, т.е. является инвариантной величиной относительно базиса. Доказательство. Пусть в конечномерном линейном пространстве L размерности n задано некоторое линейное преобразование A. Зафиксируем в этом пространстве произвольным образом два базиса и . Пусть А и - матрицы линейного преобразования А в базисах и , соответственно. По доказанному выше, матрицы линейного преобразования в этом случае связаны по правилу: , где Т – матрица перехода от базиса к базису . Анализируя величину определителя матрицы , получаем:
.
В силу произвольности выбора базисов результат будет справедлив для любых базисов, следовательно, величина матрицы линейного преобразования не зависит от базиса. Теорема доказана.
Нетрудно заметить, что для любого линейного преобразования А в любом линейном пространстве L , так как . Определение 4. Линейное преобразование А называется невырожденным, если , только при . В противном случае, если найдется ненулевой элемент , такой что , линейное преобразование называется вырожденным. Теорема 3. В конечномерном линейном пространстве L линейное преобразование A является невырожденным тогда и только тогда, когда матрица линейного преобразования является невырожденной. Доказательство. Так как величина определителя матрицы линейного преобразования в конечномерном линейном пространстве не зависит от выбора базиса, то достаточно доказать справедливость этого утверждения для любого базиса. Пусть и - некоторый фиксированный базис. Пусть - матрица линейного преобразования А в базисе , Х – столбец координат вектора х в базисе .
Очевидно, что , только при , тогда и только тогда, когда получившаяся система имеет только нулевое решение, а это возможно лишь тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю. Так как определитель системы – определитель матрицы линейного преобразования, то теорема доказана. Следствие. В конечномерном линейном пространстве L линейное преобразование A является вырожденным тогда и только тогда, когда матрица линейного преобразования является вырожденной. Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из того, что система, полученная при доказательстве теоремы 3 имеет нетривиальное (ненулевое) решение тогда и только тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю.
Определение 5. Линейное преобразование А называется тождественным, если . Очевидно, что в конечномерном линейном пространстве L, размерности n, в любом базисе соответствует единичная матрица порядка n. Действительно.
,
, .
Следовательно, матрица линейного преобразования А в данном базисе имеет вид:
.
|