Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Вычисление площади с помощью криволинейного интеграла второго рода.
В п.2.5.было установлено, что работа силового поля при перемещении материальной точки вдоль кривой Г выражается криволинейным интегралом второго рода по этой кривой. Применение криволинейного интеграла второго рода к решению физических задач будет изложено в теории поля. Покажем, что криволинейный интеграл может быть использован для вычисления площади плоской фигуры. Пусть D -некоторая область (правильная) с границей L и S - площадь этой области. Рассмотрим криволинейный интеграл Применив к нему формулу Грина, где получим
Аналогично получается другая формула
Можно получить иные формулы. Для этого достаточно выбрать функции X(y, x) и Y(y, x) такими, чтобы они удовлетворяли условию Так, если в интеграле положить то и Следовательно, (1) Формула (1) отличается от предыдущих двух симметричностью формы.
ПРИМЕР 1. Вычислить площадь области, ограниченной астроидой (см. рис.18). Применяя формулу (1), получим Рис.18. К примеру 1.
|