Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дифференцирование неявной функции
Пусть в области задана функция двух переменных . Определение. Функция в окрестности точки , задана неявно уравнением , (20) если при всех из этой окрестности справедливо равенство . Заметим, что обычное, «явное» задание функции можно рассматривать как частный случай неявного задания: ; здесь . Теорема. Пусть для неявной функции , задаваемой уравнением , имеем , так что , (21) и выполняются три условия: 1. Неявная функция непрерывна в точке . 2. Функция и ее частные производные непрерывны в точке . 3. . Тогда неявная функция дифференцируема в точке , и . Доказательство. Придадим переменной в точке приращение ; оно, в свою очередь, вызовет приращение неявной функции, и, как следствие, полное приращение функции : . Пара чисел , будучи аргументом и значением неявной функции, также удовлетворяет уравнению (20), то есть . (22) При этом в силу непрерывности функции имеем: =0. Теперь, с одной стороны, из (21) и (22) следует , а с другой стороны, ввиду непрерывности частных производных, для имеет место представление (4): с бесконечно малыми при . Таким образом, . Выразим отсюда : (знаменатель в правой части отличен от нуля в малой окрестности точки ввиду условий и ). Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем: . Пример. Пусть неявная функция задана уравнением ; здесь . Точка удовлетворяет уравнению, так что для неявной функции имеем: . Далее, ; .
Поэтому . и .
|