Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые i, j, k соответственно (рисунок 5.5) и зададим произвольную точку М трехмерного пространства Рисунок 5.5
Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: . Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координаты плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через , и . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда , , . По определению суммы нескольких векторов находим А так как , , то (5.1) Но , , (5.2) Обозначим проекции вектора на оси Ox, Oy и Oz соответственно через , и , т.е. , , . Тогда из равенства (5.1) и (5.2) получаем (5.3) Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа , , называется координатами векторами , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси. Векторное равенство (5.3) часто записывается в координатной форме Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора (5.4) т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат. Пусть углы вектора с осями Ox, Oy и Oz соответственно равны . По свойству проекции вектора на ось, имеем , , Или, что то же самое, , , (5.5) Числа , , называются направляющими косинусами вектора . Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем . Сократив на , получим соотношение т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице. Легко заметить, что координатами единичного вектора являются числа , , , т.е. . Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.
|