Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Первичная обработка результатов эксперимента. Характеристики вариационных рядов
Пусть произведено независимых измерений некоторой случайной величины : – результат первого измерения, – результат второго измерения, …, – результат -го измерения. Тогда через обозначим среднее арифметическое результатов измерений рассматриваемой случайной величины , то есть . Заметим, что, поскольку – случайные величины, то также является случайной величиной. Пример. Детали некоторого вида расфасованы по ящикам. Результаты обследования шести из этих ящиков (на предмет наличия в них бракованных деталей) представлены в таблице:
где – номер ящика, – число бракованных деталей в -ом ящике.
Тогда Приведенное вычисление подсказывает возможность более компактного представления результатов обследования, а именно – использование таблицы следующего вида: где – число бракованных деталей в ящике; – число ящиков.
Такая таблица называется вариационным рядом. Аналогично, в общем случае имеем
Определение. Вариационным рядом признака называется таблица вида
где – возможные значения данного признака, – числа объектов, , – число обследованных объектов (). Отметим, что величины , значения которых заполняют нижнюю строку вариационного ряда, называются эмпирическими частотами. Очевидно, что признак , для которого строится вариационный ряд, есть случайная величина. В том случае, когда результаты обследования представлены вариационным рядом, формула для вычисления имеет вид (1)
Сама величина в этом случае называется средней вариационного ряда или выборочной средней. Появление в данном случае дополнительного эпитета выборочный связано с тем, что обследованные объекты выбираются из некоторой объемлющей (так называемой генеральной)совокупности объектов. Напомним, что есть случайная величина. В тех случаях, когда данные эксперимента представлены вариационным рядом, а вычисляется по формуле (1), случайными являются эмпирические частоты . Вариационный ряд является оценкой закона распределения случайной величины (признака) . Поясним, почему это так. По вариационному ряду построим равнозначную ему таблицу, заменяя строку эмпирических частот частостями . В результате имеем:
Учитывая, что частости являются оценками вероятностей (, см. § 7.1), приходим к требуемому утверждению. Принимая во внимание последнее замечание, получаем . Таким образом, средняя вариационного ряда (выборочная средняя) является оценкой математического ожидания той случайной величины (признака) , для которой построен данный вариационный ряд. Можно доказать, что эта оценка является несмещенной и состоятельной. Учитывая полученные результаты, аналогично построим оценку для дисперсии случайной величины : Выражение, стоящее в правой части последнего равенства называется выборочной дисперсией и обозначается , то есть Выборочная дисперсия – оценка для дисперсии случайной величины . Можно доказать, что выборочная дисперсия является смещенной оценкойдля , то есть Несмещенная оценка для определяется равенством Заметим, что для вычисления выборочной дисперсии удобно использовать формулу – аналог свойства 3 дисперсии (см. § 3.3): Определение. Вариационный ряд называется дискретным, если число возможных значений признака– конечно, и непрерывным (интервальным), если возможные значения признака полностью заполняют некоторый интервал. Вариационные ряды, которые встречались нам до сих пор в данном параграфе, являются дискретными. Рассмотрим пример интервального вариационного ряда. Пример. По результатам обследования некоторого малого предприятия получены следующие данные о ежемесячной заработной плате его сотрудников:
где – размер заработной платы (ден. ед.), – число сотрудников.
Для нахождения параметров непрерывного вариационного ряда – выборочной средней, выборочной дисперсии – этот вариационный ряд сначала сводится к дискретному (в результате выбора середины для каждого из рассматриваемых интервалов), после чего и вычисляются по приведенным выше формулам. Например, данный интервальный вариационный ряд сводится к следующему дискретному:
Тогда
или
|