Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Закон полного тока.
Закон полного тока, или теорема о циркуляции вектора , которая будет рассмотрена ниже, позволяет находить напряженность магнитного поля при наличии симметрии токов без применения закона Био – Савара - Лапласа. Это дает возможность существенно упростить вычисления в ряде случаев. Основное отличие магнитного поля от электростатического состоит в том, что магнитное поле непотенциально. Докажем это. Рассмотрим магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника с током. Силовые линии (линии напряженности) этого поля представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны к проводнику, а центры лежат на оси проводника. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольной силовой линии L равна . При этом L - окружность радиуса r, Модуль напряженности по закону Био –Савара-Лапласа равен . Вектор направлен по касательной к окружности, поэтому Тогда (1) - циркуляция вектора вдоль силовой линии не равна нулю, следовательно, магнитное поле прямолинейного тока непотенциально. Из выражения (1) следует, что циркуляция вектора магнитного поля прямолинейного тока одинакова вдоль любой силовой линии и равна силе тока. Формула (1) справедлива для замкнутого контура L произвольной формы, охватывающего бесконечно длинный прямолинейный проводник с током I. Действительно, рассмотрим контур (силовую линию) произвольной формы (рис.6). Точка А этого контура находится на расстоянии r от оси проводника с током. Из оси проводника проведем окружность радиуса r через точку А. Тогда вектор направлен по касательной к этой окружности, следовательно, он перпендикулярен к радиус вектору . Элемент силовой линии в точке А направлен по касательной к контуру L. Тогда , где – длина проекции вектора на направление вектора . Но малый отрезок касательной к окружности радиуса r можно заменить дугой этой окружности: , где – центральный угол, под которым виден элемент контура L из центра окружности. Тогда: , а циркуляция вектора равна: (2) - результат тот же, что и для случая, когда L - окружность.
Таким образом, циркуляция вектора напряженности магнитного поля прямолинейного проводника с током I вдоль замкнутого контура произвольной формы, охватывающего проводник, не зависит от формы контура и численно равна силе тока I.
Рассмотрим случай, когда контур не охватывает проводник с током (рис.7). В этом случае циркуляция вектора по контуру L равна сумме циркуляций вектора по участку контура 1 a 2 и участку контура 2 b 1, т.е. (3) - циркуляция вектора напряженности магнитного поля прямолинейного проводника с током вдоль замкнутого контура, не охватывающего этот проводник, равна нулю. Можно показать, что формулы (2) и (3) являются универсальными, т.е. справедливы для проводника любой формы и размеров. На практике магнитное поле создается, как правило, несколькими проводниками, по которым текут токи , , …, . Каждый проводник с током создает магнитное поле напряженностью (). Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля равна: . Циркуляция вектора напряженности вдоль произвольного замкнутого контура L равна: . Но, согласно формулам (2) и (3), · , если контур L охватывает ток ; · 0, если контур L не охватывает тока .
Таким образом, . (4) В выражении (4) индекс i заменен индексом k для того, чтобы подчеркнуть, что в эту сумму входят только токи, охватываемые контуром L. Формула (4) выражает закон полного тока для токов проводимости: циркуляция вектора напряженности магнитного поля постоянного электрического тока вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых эти контуром. · Если контур несколько раз охватывает ток, то величина тока учитывается столько раз, сколько раз контур обвивается вокруг тока с учетом направления обхода и знака тока. · Если токи текут непрерывно по поверхности S, то сумму токов можно заменить интегралом: , где - вектор плотности тока. Тогда закон полного тока (4) принимает вид: , или . (5) Здесь (мы рассматриваем поле в вакууме), L – контур, на который опирается поверхность S.
Согласно теореме Стокса , тогда из (5) получаем: , (6) - ротор вектора магнитной индукции отличен от нуля – магнитное поле непотенциально. Поле, ротор которого отличен от нуля, называется вихревым или соленоидальным. Выражение (6) представляет собой дифференциальную форму записи закона полного тока. С помощью закона полного тока (6) найдем напряженность магнитного поля внутри соленоида. · Будем считать соленоид бесконечным. · Если витки соленоида расположены вплотную или очень близко друг к другу, то соленоид можно приближенно рассматривать как систему большого числа последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, центры которых лежат на оси соленоида, а плоскости ортогональны ей. Легко видеть, что линии магнитной индукции соленоида параллельны его оси (рис. 8). · Все поле сосредоточено внутри соленоида, вне соленоида поля нет и . Для нахождения H выделим участок соленоида длины , на котором расположено витков, (n - число витков на участке соленоида единичной длины), и проведем контур 1234. Согласно закону полного тока (4) имеем: . На участках 1, 2 и 3, 4 контур перпендикулярен к вектору , поэтому и . Участок 4, 1 находится вне соленоида, следовательно, и , следовательно, . Тогда , и . Сократив на , окончательно получаем: . Из этого выражения видно, что не зависит ни от расстояния до оси соленоида, ни от размеров самого соленоида. При фиксированном значении силы тока , поле соленоида однородно. 7. Сила Ампера. Ампер · исследовал действие магнитного поля на проводники с током · показал, что сила F, действующая на прямолинейный проводник с током, находящийся в однородном магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике, его длине , магнитной индукции и синусу угла между направлениями тока в проводнике и вектором : .
В случае неоднородного магнитного поля и проводника произвольной формы перейдем к бесконечно малым приращениям, имеем: . -коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единицы измерения. В СИ . Будем считать, что элемент проводника перпендикулярен вектору , тогда - магнитная индукция - численно равна силе, действующей со стороны поля на единицу длины проводника, по которому течет электрический ток единичной силы и который расположен перпендикулярно к направлению магнитного поля. Т.е. магнитная индукция является силовой характеристикой поля. Направление силы определяется по правилу левой руки: Если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входили линии магнитной индукции, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению электрического тока в проводнике, то отставленный большой палец укажет направление силы, действующей на проводник со стороны поля. Если не перпендикулярен , то вектор совпадает по направлению с векторным произведением - вектор направлен перпендикулярно к плоскости, образованной векторами и таким образом, чтобы из конца вектора вращение от вектора к вектору по кратчайшему пути происходило против часовой стрелки. Закон Ампера в векторной форме имеет вид: . Силы электромагнитного взаимодействия не являются центральными и всегда перпендикулярны к линиям магнитной индукции.
Рассмотрим два длинных прямоугольных проводника, которые расположены параллельно друг к другу. Расстояние между проводниками а. При пропускании тока по проводникам между ними возникает сила взаимодействия. Рассмотрим некоторые частные случаи. 1). Пусть токи и в проводниках направлены в одну сторону (рис.9а). В этом случае проводники притягиваются друг к другу. Каждый из проводников создает вокруг себя магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник. При этом на элемент второго проводника с током действует сила : . Если а < < , то проводник можно считать бесконечно длинным, тогда , при этом , , имеем . Для выражение примет такой же вид. Оно симметрично для обоих проводников, поэтому , Тогда . 2) Если токи противоположны по направлению, то проводники отталкиваются (рис.9б). Единицы измерения в системе СИ: магнитная индукция - B =[Тл] – тесла; напряженность магнитного поля H =[ ] - ампер на метр.
|