Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Упражнения. Модуль 4. Линейные операторы






Модуль 4. Линейные операторы. Квадратичные формы

Глава 4.1. Линейные операторы

 

Линейные операторы в линейном пространстве

 

Линейным оператором, действующим в линейном пространстве V над полем K, называется отображение , для которого

Свойства линейного оператора

1) , где нулевой вектор линейного пространства V/K;

2)

3)

4)

Доказательство.

1)

2)

3)

4)

Примеры.

1)Нулевой линейный оператор, который каждый элемент линейного пространства переводит в нулевой вектор.

2) Тождественный линейный оператор, который каждый элемент линейного пространства переводит в себя.

 

Упражнения

 

1) Является ли линейным оператор, действующий в трехмерном евклидовом пространстве геометрических векторов:

а) б) в) г)

д) е) ё)

где а – фиксированный вектор, – число, (х, а) – скалярное произведение.

2) Является ли линейным оператор, действующий в трехмерном арифметическом пространстве:

а) б) в)

3) Докажите, что – линейный оператор одномерного линейного пространства над полем K тогда и только тогда, когда существует элемент из поля K, для которого , где х – любой вектор этого линейного пространства.

4) Какие из отображений являются линейными операторами линейного пространства многочленов степени

а) б) в)оператор дифференцирования г)оператор k -кратного дифференцирования д) е)

5) Линейное пространство Х является прямой суммой подпространств L 1 и L 2. Докажите, что оператор Р проектирования линейного пространства Х на L 1 параллельно L 2, который каждому вектору х 1 + х 2 из Х ставит в соответствие вектор х 1, линейный; х 1 х 2 .

6) Линейное пространство Х является прямой суммой подпространств L 1 и L 2. Докажите, что оператор R отражения линейного пространства Х на L 1 параллельно L 2, который каждому вектору х 1 + х 2 из Х ставит в соответствие вектор х 1х 2, линейный; х 1 х 2 .

7) В линейном пространстве Х над полем K фиксирован базис . Докажите, что соответствие, относящее каждому вектору Х линейного пространства его i- ю координату в этом базисе, линейное отображение из Х в K.

8) Докажите, что линейный оператор, действующий в одномерном линейном пространстве над полем K, сводится к умножению вектора пространства на фиксированный элемент поля.

9) Докажите, что линейный оператор линейно зависимую систему переводит в линейно зависимую. Верно ли аналогичное утверждение для линейно независимой системы векторов?

10) Верно ли утверждение: линейный оператор эквивалентные системы переводит в эквивалентные?

 

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.