Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Закон больших чисел ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Как мы знаем, нельзя заранее предвидеть, какое из возможных событий примет случайная величина в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин. Казалось бы, что поскольку о каждой случайной величине мы располагаем скромными сведениями, вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. Но оказывается, что суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин утрачивает случайный характер и становится закономерным. Неравенство Чебышева: (справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин). Рассмотрим для дискретного случая. Пусть
- вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа не меньше, чем . Доказательство: , . Найдем дисперсию Очевидно, что все слагаемые этой суммы неотрицательные. Отбросим те слагаемые, у которых , значит сумма от этого может только уменьшиться Но , т.е. Значит, ч.т.д. Теорема Чебышева: Если попарно независимые случайные величины, причем , то для любого малого Пояснение: Хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения далекие от своих математических ожиданий – среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большей вероятностью принимает значения, близкие к постоянному числу . Итак, среднее значение достаточно большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины. Теорема Бернулли (закон больших чисел): , где - относительная частота, p - вероятность появления события A. Пример: Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что , если . Решение: .
|