Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теорема (необхідна умова зростання (спадання) функції).Якщо функція диференційована на та зростає (спадає) на , то .
Доведення. Припустимо для визначеності, що функція зростає на . Візьмемо довільне і надамо приріст так, щоб . Тоді, якщо , то , а якщо , то . В обох випадках відношення . Звідси за теоремою про зберігання знаку границі: , що й треба було довести. З цих теорем випливає, що інтервали монотонності (тобто інтервали зростання та інтервали спадання) функції можуть відділятися один від одного точками, у яких похідна функції або дорівнює нулю, або не існує. Такі точки називаються критичними точками I роду. Отже для знаходження інтервалів монотонності треба: 1) знайти критичні точки I роду; 2) відмітити ці точки на числовій прямій, тим самим розбивши числову пряму на інтервали; 3) визначити знак похідної функції в кожному з отриманих інтервалів; на тих інтервалах, де похідна додатна, функція зростає, а де похідна від’ємна – функція спадає. Приклад. Знайти проміжки зростання та спадання функції . Знайдемо: . Критичні точки дві: (в ній ) і (в ній не існує). Відмітимо їх на числовій прямій:
Рис. 32
Отримали три інтервали. Визначимо знак на кожному з них: 1) – функція зростає; 2) – функція спадає; 3) – функція зростає.
II. Точки екстремуму. З проміжками монотонності функції тісно пов’язано таке важливе поняття, як екстремум функції. Введемо наступні означення. Означення. Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує такий окіл цієї точки, що , виконана нерівність: . Означення. Точка називається точкою мінімумуу функції , якщо існує такий окіл цієї точки, що , виконана нерівність: . Точки максимуму та мінімуму функції називаються точками екстремуму функції. З наведених означень випливає, що поняття екстремуму носить так званий локальний характер. В точці екстремуму досягається найбільше або найменше значення функції, але не в усій області її визначення, а лише в деякому, взагалі кажучи, достатньо малому околі цієї точки. А в точках, розташованих за межами цього околу, функція може приймати більші (менші) значення, ніж в точці максимуму (мінімуму). Таким чином точок екстремуму функція може мати декілька, навіть нескінченну кількість (рис. 33).
Рис. 33 Тут – точки максимуму, а – точки мінімуму. Як видно з рисунку, значення функції в точці мінімуму може бути більшим, ніж значення в точці максимуму (). Географу ця ситуація може нагадувати гірський ланцюг. Припустимо, що географ, який цікавиться математикою, потрапив до гір, наприклад у Гімалаї. І здійснив сходження на одну з вершин, наприклад, Аннапурну. «Чи досяг я максимуму? – питає він себе. – Так, звичайно. Я стою на вершині і дивлюсь навкруги. Все, що поблизу мене, нижче за мене. Але дивлюсь я вдалечінь. І бачу у біло-синьому просторі ще вищу вершину – Еверест. І тоді я розумію, що, хоча я досягнув максимуму, але цей максимум локальний, відносний, так кажучи. Але ніяк не абсолютний. Адже абсолютним є Еверест». Розшукання точок екстремуму функції є одною з важливих задач математики. Тому треба мати умови, при виконанні яких можна стверджувати, що дана точка є точкою екстремуму. Ці умови формулюються у вигляді наступних теорем. Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо в точці функція досягає екстремуму і диференційовна у цій точці, то . Доведення. Оскільки – точка екстремуму, то існує інтервал такий, що в точці досягається найбільше або найменше на цьому інтервалі значення. Тоді згідно з теоремою Ферма (див. лекцію 6) . Зауваження. Обернене твердження до цієї теореми несправедливе, тобто з того, що у деякій точці похідна функції дорівнює нулю, не випливає наявність у цій точці екстремуму. Приклад. Розглянемо функцію . Похідна цієї функції у точці дорівнює нулю. Разом з цим екстремуму в точці ця функція не має (рис. 34).
Рис. 34
З іншого боку екстремум може існувати в тих точках, де похідна не існує. Як ми знаємо, в точці функція має мінімум. Але похідної в цій точці не існує. Але знову ж таки, не в усіх точках, де похідна не існує, функція має екстремум. Наприклад, функція не є диференційовною в точці і не має в цій точці екстремуму (рис. 6). Таким чином ті точки, в яких похідна функції дорівнює нулю, або не існує (тобто критичні точки I роду) тільки можуть бути точками екстремуму. Але для того, щоб переконатися, чи дійсно там є екстремум, потрібні достатні умови екстремуму. Теорема (перша достатня умова екстремуму). Нехай – критична точка I роду функції , яка в цій точці неперервна, і яка диференційовна в деякому околі точки , крім, можливо, самої цієї точки. Тоді, якщо при переході через точку похідна змінює свій знак, то точка є точкою екстремуму. А саме максимуму, якщо зміна знаку відбувається з мінуса на плюс (тобто при , і при ), і мінімуму, якщо зміна знаку похідної відбувається з мінуса на плюс (тобто при , і при ). Якщо при переході через критичну точку зміни знаку похідної не відбувається, то ця критична точка не є точкою екстремуму. Доведення. Припустимо для визначеності, що для деякого виконано: при , при . Тоді на інтервалі функція зростає, а на інтервалі спадає. Тоді справджується нерівність: . А це й означає, що – точка максимуму. З наведених теорем випливає наступний алгоритм знаходження точок екстремуму функції. 1. Знайти критичні точки I роду. 2. Дослідити знак похідної при переході через ці точки. Якщо відбувається зміна знаку, і функція неперервна в критичній точці, то ця точка є точкою екстремуму. Якщо зміни знаку не відбувається, то в даній точці екстремуму нема. Приклади. Знайти точки екстремуму і проміжки монотонності функції . Знайдемо: . Похідна дорівнює нулю при і не існує при . Отже критичні точки . Складемо таблицю.
Тут символом показано проміжок зростання, а символом – проміжок спадання функції. Отже точка максимуму, а – точка мінімуму. 2. Знайти точки екстремуму і проміжки монотонності функції , . Знайдемо: . Маємо дві критичні точки: (там ) і (там не існує). Складемо таблицю:
Отже точка є точкою мінімуму, а точка точкою екстремуму не являється, оскільки в цій точці функція не є неперервною. 3. Знайти проміжки монотонності та точки екстремуму функції . Знайдемо: . Маємо дві критичні точки: (там не існує) і (там ). Складемо таблицю:
Отже точка є точкою максимуму, а точка не є точкою екстремуму, оскільки при переході через неї не відбувається зміни знаку похідної. Теорема (друга достатня умова екстремуму). Нехай в точці функція має неперервні похідні 1–го і 2–го порядків, причому . Тоді в точці функція має екстремум. А саме максимум, якщо , і мінімум, якщо . Доведення. Припустимо для визначеності, що . Тоді внаслідок неперервності існує такий окіл , у якому . Отже функція є зростаючою в цьому околі. А тоді при , і при , тобто похідна функції при переході через точку змінює свій знак з мінуса на плюс. І отже за попередньою теоремою в точці функція досягає мінімуму. Теорему доведено. Приклад. Знайти точки екстремуму функції . Знайдемо: . Дорівнюючи цей вираз до нуля, і, скорочуючи на , дістаємо: , звідки . Отже єдина критична точка . Далі знайдемо: . Підставляючи сюди точку , отримаємо: , отже в точці наша функція досягає мінімуму.
Лекція 9.. Застосування диференціального числення
|