Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Запись дифференциальных операторов в ортогональных координатах
Рассмотрим теперь некоторые дифференциальные операторы в ортогональных криволинейных координатах. 1. Градиент скалярной величины. Согласно определению градиента скалярной величины φ его проекции на координатные линии
2. Дивергенция потока. По своему физическому смыслу дивергенция — это разность потоков свойства α, переносимого жидкостью, втекающих в единичный объем и вытекающих из него за единицу времени. Рассмотрим элементарный объем dτ (рис. Б.1) Через площадку dσ =ds2ds3 втекает — α υ 1ds2ds3, а вытекает . Знак минус в первом потоке появляется за счет того, что он направлен против внешней нормали). Их сумма или, с учетом (Б.4), .Аналогично, для площадок ds1ds3 и ds1ds2, соответственно: и . Общая сумма, отнесенная к объему (Б. 10), дает нам дивергенцию
(Б.12) 3.Оператор Лапласа скалярной функции φ. На основании формулы векторного анализа ∆ φ =divgrad φ, учитывая (Б.11) и (Б.12) можно записать, что (Б.13) Здесь роль α υ i играют компоненты градиента 4. Вихрь (ротор) скорости (). На основании формулы Стокса используя теорему о среднем, можно записать, что . Для элементарной координатной поверхности (рис. Б. 2) dσ 3 последнее соотношение Рис. Б.2 можно переписать в виде
Знак осреднения опущен, ибо в пределе мы имеем точное равенство. При указанном на рисунке направлении обхода и скорости это равенство можно развернуть и представить в виде Имея в виду, что dsi=Hidqi и , получаем Аналогично могут быть получены Ω 1 и Ω 2, так что, обобщая, можно записать (Б.14)
где i, j, k образует циклическую перестановку чисел 1, 2, 3. 5. Оператор Лапласа для вектора скорости. Для отыскания его выражения следует воспользоваться формулой векторного анализа ∆ =grad div - rot rot . Выведенных выше соотношений вполне достаточно для того, чтобы найти проекции ∆ на оси координат. Опуская элементарные, но весьма длинные вкладки сразу запишем (Б.15) 6. Конвективная производная скорости. В векторном анализе выводиться формула , (а) или в координатной форме (б)
Поскольку скалярное произведение должно быть неизменно в любой системе координат, то, например, при i=1 можно записать . (в) Соответственно при i=1 два последних слагаемых в соотношении (б) будут 3- ..Раскрывая и на основании (Б.14), получим Складывая последнее выражение с (в), будем иметь Аналогично могут быть получены формулы для i=2, 3. В общем виде выражение для конвективной производной можно представить как . (Б.16) 7. Конвективная производная для скалярной функции φ. Как известно она может быть записана в виде скалярного произведения ( gradφ) = . (Б.17)
|