Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Алгоритм треугольного разложения положительно определенных симметричных матриц и его применение для решения СЛАУ
Алгоритм называют еще алгоритмом Холесского разложения матриц. Он применим к симметричным положительно определенным матрицам. Напомним, что матрица называется симметричной, если , т.е. . Матрица A называется положительно определенной, если скалярное произведение для всех ненулевых векторов, или, что то же самое, . Такие матрицы часто встречаются в приложениях. В типичной ситуации произведение представляет собой энергию некоторой физической системы, которая положительна для любого вектора x состояния системы. Приведем для справки два критерия положительной определенности матрицы. Критерий Сильвестра. Для того чтобы симметричная матрица была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ведущие (угловые) миноры этой матрицы были положительными: Для того, чтобы матрица была положительно определенной, достаточно, чтобы , ; и для всех строк матрицы A выполнялось свойство диагонального преобладания: Кроме того, известно, что у положительно определенной матрицы и только у нее все собственные значения положительны. Теорема (о разложении Холесского). Если симметричная положительно определенная матрица, то существует и единственно ее треугольное разложение вида , где L - нижняя треугольная матрица вида , , , a - транспонированная по отношению к L матрица вида . На основе этой теоремы может быть построен алгоритм вычисления разложения, который мы приводим без вывода (так называемый алгоритм в форме скалярных произведений). , . Элементы матрицы L рассчитывают в следующем порядке: , , , , , , , , , и т.д., выбирая одну из формул, приведенных выше. Варианты заданий
|