Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Постановка задачи. Пусть известные значения некоторой функции f образуют таблицу: x f(x)
Пусть известные значения некоторой функции f образуют таблицу:
При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента x, которое входит в отрезок [ ], но не совпадает ни с одним из значений (i=0, 1, …, n). Поскольку чаще всего аналитическое выражение функции f неизвестно, то используют следующий прием: подбирают функцию g(x), приближающую функцию f(x) в промежутке [ ]. Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строго совпадения значений f(x) и g(x) в точках (i=0, 1, …, n), то есть В этом случае нахождение приближающей функции называют интерполяцией (или интерполированием), а точки – узлами интерполяции. Очевидно, что задача интерполяции допускает сколь угодно много решений. Обычно, функцию g(x) выбирают из функций определенного класса и чаще всего из класса многочленов. Будем искать интерполирующую функцию g(x) в виде многочлена степени ≤ n: причем , . Многочлен называют интерполяционным многочленом для функции f(x), построенным по узлам . Для любой функции f(x) сформулированная задача имеет решение, причем единственное. Для того чтобы это показать, поступим следующим образом. Для определения коэффициентов многочлена составим систему уравнений, которая имеет следующий вид: Получим систему из (n+1)–го линейного уравнения с (n+1)–им неизвестным. Найдем определитель этой системы: Если все точки различны, то этот определитель отличен от 0. Следовательно, рассматриваемая система уравнений всегда имеет решение, причем единственное. Описанный прием в принципе можно было бы использовать и для практического решения задачи интерполированием многочленом, однако на практике используют другие, более удобные и менее трудоемкие способы.
|