Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Лабораторная работа № 2
МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ Цель работы: Получение навыков использования методов интерполирования функции.
Задача интерполирования ставится в следующей форме: найти многочлен степени не выше , значение которого в заданных точках , совпадают заданными значениями данной функции , . Геометрически это означает, что нужно найти алгебраическую кривую вида , проходящую через заданную систему точек , (рис. 7). Многочлен называется интерполяционным многочленом, а точки , узлами интерполяции. Интерполяционные многочлены обычно используются для нахождения неизвестных значений при промежуточных значениях аргумента. При этом различают задачу интерполирования, когда находится между и , и экстраполирования, когда находится вне отрезка .
Y
0 x0 x1 x2 xn X
Рис. 7.
Узлы интерполяции называются равноотстоящими, если . Конечными разностями функции называются разности вида:
разность первого порядка, разность второго порядка, .................... ..................... разность -1 – го порядка, разность - го порядка. В табл. 3 приведены конечные разности до
Таблица 3
Первая интерполяционная формула Ньютона имеет вид , где . В этой формуле используется верхняя горизонтальная строка таблицы разностей. Остаточный член этой формулы имеет вид , где - некоторая точка промежутка, содержащего все узлы интерполирования и точку . Первая формула Ньютона используется для интерполирования и экстраполирования в точках , близких к начальной точке таблицы . Для точек , близких к конечной точке таблицы используя вторую интерполяционную формулу Ньютона , где . Остаточный член этой формулы . Во второй формуле Ньютона используется нижняя наклонная строка конечных разностей (см. табл. 3). Для неравноотстоящих узлов интерполирования используется интерполяционная формула Лагранжа. с остаточным членом . Выражения называются коэффициентами Лагранжа. Иногда бывает полезным для упрощения вычислений использовать инвариантность коэффициентов Лагранжа относительно линейной подстановки: если , , то . В случае равноотстоящих узлов имеются таблицы лагранжевых коэффициентов.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Ознакомиться с методами интерполирования функции. 2. Ознакомиться с инструкцией к ПДП. 3. Ознакомиться с методом использования ПДП для нахождения интерполяционных многочленов на демонстрационных примерах. Таблица 4
4. Для заданной таблично функции построить все возможные интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа максимальной степени, пригодные для определения значения функции в указанных промежуточных точках . Варианты задания выбрать из табл. 4. Для всех вариантов , , , , . 5. Вычислить значения функции в указанных промежуточных точках, используя найденные многочлены. Сравнить значения, полученные по разным интерполяционным формулам. 6. Результаты вычисления занести в табл. 5. Таблица 5
ОТЧЕТ О РАБОТЕ
Отчет должен содержать: 1. Таблицу значений заданной функции и обоснование выбора степени многочленов для промежуточных точек. 2. Найденные интерполяционные многочлены. 3. Значения функции в промежуточных точках, вычисление с помощью найденных многочленов. 4. Мотивированный вывод об окончательном выборе значения функции в промежуточных точках.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Как ставится задача интерполяции? 2. В чем отличие интерполирования от экстраполирования? 3. Какие формулы используются для интерполирования в равноотстоящих узлах, а какие в неравноотстоящих? 4. Что такое узлы интерполяции? 5. Чем отличаются первая и вторая формулы Ньютона?
ЛИТЕРАТУРА [1, c.46-84]; [3, c.497-540]; [6, c.149-165].
|