Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Понятие ряда Фурье
Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости, электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье. Тригонометрическим рядом называют ряд вида или, символической записи: (1) где ω, a0, a1, …, an, …, b0, b1, …, bn, …- постоянные числа (ω > 0). К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики, например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением у = ƒ (χ), в виде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1). Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ƒ (x) на заданном промежутке такой ряд (1), который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция ƒ (x) разлагается в тригонометрический ряд. Ряд (1) сходится в некоторой точке х0, в силу периодичности функций (n=1, 2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида (m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если Sn (x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем
а потому и , т. е. S(x0 +T)=S(x0). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ (x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ (x) периодической функцией.
|