Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Изопериметрические задачи.⇐ ПредыдущаяСтр 27 из 27
Одними из первых задач на отыскание наибольших и наименьших величин являлись изопериметрические задачи о нахождении замкнутой кривой, имеющей заданную длину и охватывающую наибольшую площадь, и о нахождении пространственной замкнутой поверхности, имеющей заданную площадь и охватывающей наибольший объём. Среди изопериметрических(имеющих равную длину) кривых наиболее вместимой является окружность, а среди изопифанных (имеющих равную площадь) поверхностей – сфера. Изопериметрическая задача содержится так же в легенде о царице Дидоне. Изопериметрической задачей в вариационном исчислении называется следующая экстремальная задача в пространстве : (P) (1) , , (2) Где Отрезок [ ] является фиксированным и конечным, . Ограничения вида (1) называются изопериметрическими. Экстремум в задаче рассматривается среди функций , удовлетворяющих изопериметрическим условиям (1) и условиям (2) на концах; такие функции называются допустимыми. Определение. Говорим, что допустимая функция доставляет слабый локальный минимум в задаче (P), и пишем если существует такое, что для любой допустимой функции x, для которой 1 . Необходимое условие экстремума: Теорема. Пусть функция доставляет слабый локальный экстремум в задаче (P) ( функции непрерывны в некоторой окрестности расширенного графика . Тогда существует вектор множителей Лагранжа выполняется условие гладкости и выполнено уравнение Эйлера
|