Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод Симпсона.
Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом второй степени: Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках соответствующим табличным данным В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки Рис. 4 Сумма элементарных площадей и (рис. 4) может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства получаем
Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка просуммируем полученные выражения: Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:
(10)
Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол. Эту формулу можно получить и другими способами, например двукратным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [a, b] на части с шагами h и 2h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций. Иногда формулу Симпсона записывают с применением полуцелых индексов. В этом случае число отрезков разбиения n произвольно (не обязательно четно), и формула Симпсона имеет вид: (11)
Видно, что формула (11) совпадает с (10), если формулу (10) применить для числа отрезков разбиения 2n и шага h/2. Как и для формулы трапеций, погрешность формул Симпсона вычисляется подстановкой разложения (4), в котором теперь надо удержать большее число членов и для каждой пары интервалов и за центр разложения взять узел . Главный вклад в погрешность дает только пятый член разложения. Подставляя его в выражение суммарной погрешности двух соседних интервалов, найдем После суммирования по парам соседних интервалов получим т.е. формула Симпсона имеет четвертый порядок точности, а численный коэффициент в остаточном члене очень мал. Благодаря этим обстоятельствам формула Симпсона обычно дает хорошую точность при сравнительно небольшом числе узлов(если четвертая производная функции не слишком велика).
|