Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Непрерывность функции
2.4.1 Пусть функция определена в некоторой δ – окрестности точки , в том числе в самой точке . Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в точке существует и равен значению функции в этой точке, т.е. . Функцию называют непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Условие непрерывности в точке можно записать в эквивалентной форме: .
Можно ввести приращение функции : .
Это означает, что условие непрерывности функции в точке эквивалентно выполнению равенства . Понятия предела и непрерывности для функции нескольких переменных аналогичны соответствующим понятиям для функции одной переменной, поэтому основные теоремы для непрерывных функций одной переменной остаются справедливыми и для функции нескольких переменных, при этом роль отрезка играет замкнутое множество.
2.4.2 Точка множества, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции. Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва (для ) и т.д.
Пример. 2.4.2.1Функция непрерывна при любых значениях x и y, т.е. в любой точке плоскости . Действительно, преобразовав функцию , найдем приращение функции , следовательно, .
Пример.2.4.2.2 Найти точки разрыва функции . Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в ноль. Поэтому она имеет поверхность разрыва - плоскость . Заметим, что разрыв в точке , где , можно устранить, положив = , т.е. точка является точкой устранимого разрыва.
Пример.2.4.2.3 Найти точки разрыва функции . Заметим, что разрыв в точке , где можно устранить, положив = , т.е. точка - точка устранимого разрыва.
Пример.2.4.2.4 Найти точки разрыва функции . Функция определена всюду, кроме точки . Рассмотрим значение z вдоль прямой : .
Подходя к точке по различным прямым, мы будем получать различные предельные значения, зависящие от k. Это значит, что функция не имеет предела в точке . Функцию нельзя доопределить в этой точке так, чтобы она стала непрерывной. Следовательно, эта точка является точкой неустранимого разрыва.
|