Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Площадь ориентированного параллелограмма. Вычисление площадей.⇐ ПредыдущаяСтр 29 из 29
Определение 25.1. Пусть и два вектора, параллельные некоторой ориентированной плоскости (ориентация 1. , если базис положительно ориентирован; 2. , если базис отрицательно ориентирован; 3. , если векторы и коллинеарны. Очевидно, что . Пусть будет единичный вектор, перпендикулярный нашей плоскости и направленный в ту сторону, с которой мы смотрим на нее; тогда . Если тройка векторов правая, то и параллелограмм ориентирован положительно, т.е . Если тройка векторов левая, то и параллелограмм ориентирован отрицательно, т.е . В том и другом случае Из этого легко усмотреть следующие свойства ориентированной площади 1. . 2. . 3. . 4. . Зададим теперь векторы и их координатами относительно базиса : Тогда В силу свойств ориентированной площади получаем Учитывая, что и , получим Обозначим через , т.е. площадь параллелограмма, построенного на базисных векторах. Тогда получаем, что Пусть теперь на плоскости задана аффинная система координат . ТЕОРЕМА 25.1. Площадь треугольника , заданного своими вершинами относительно аффинной системы координат на плоскости вычисляется по формуле ( --- знак модуля или абсолютной величины) Доказательство. Из предыдущих рассуждений следует, что . Поскольку (см. формулу ), то с учетом получаем ТЕОРЕМА 25.2. Для того чтобы три точки относительно аффинной системы координат , принадлежали одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство или Замечание 25.1. Если заданы метрические коэффициенты базиса , входящего в систему координат , то площадь , как легко видеть, вычисляется по формуле , где . Поэтому формулу можно записать в виде
|