Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Типовые примеры. ►Матрица системы имеет вид
1) Решите систему . ► Матрица системы имеет вид
Она невырожденная, так как соответствующий ей определитель . Следовательно, решение системы может быть по формуле , где X – матрица, состоящая из неизвестных, В – матрица, состоящая из свободных членов, А-1 – обратная матрица для матрицы А. Обратную матрицу А-1 найдем по формуле
Определим алгебраические дополнения Аik элементов данной матрицы. Получим , , , , , , Тогда
В данном случае матричное равенство X = A-1B может быть записано в виде
откуда ◄ 2) Решить систему ► Имеем Найдем : Таким образом, . ◄ 2. Правило Крамера. Рассмотрим систему, у которых число уравнений равно числу неизвестных (такие системы называют квадратными). Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными: Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. ТЕОРЕМА. Если определитель квадратной системы отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение. Это решение может быть найдено по формулам , где – определитель, получаемый из определителя заменой -го столбца на столбец свободных членов. Формулы для неизвестных носят название формул Крамера. Типовой пример. Решить с помощью формул Крамера систему уравнений ► Убедимся прежде всего в том, что определитель системы отличен от нуля: . Вычислим теперь остальные, входящие в формулы Крамера, определители: , , . Подставив полученные значения определителей в формулы Крамера, имеем Правильность представленного решения можно проверить подстановкой значений в исходную систему уравнений. ◄ 3. Критерий совместности системы линейных уравнений. Рассмотрим снова произвольную систему линейных уравнений с неизвестными, которую запишем, как и раньше, в матричной форме: , где , , . Матрицу называют матрицей системы, а матрицу, полученную из матрицы добавлением столбца свободных членов , – расширенной матрицей системы. Обозначим расширенную матрицу системы символом : . Очевидно, что ранги матриц и связаны неравенством . Ранг матрицы может быть лишь на единицу больше ранга матрицы . Вопрос о совместности системы полностью решается следующей теоремой. ТЕОРЕМА (Кронекера-Капелли). Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. чтобы . Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, т.е. , то ранг матрицы системы называют рангом системы.
|