Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Линейные САУ
2.1. Описание САУ линейными дифференциальными уравнениями
Среди задач теории автоматического управления присутствуют задачи, связанные с изучением динамики САУ и анализа её качества. Решение этих задач осуществляется с использованием описания реальной САУ её математической моделью, после чего проводят анализ процессов, протекающих в САУ на основе построенной математической модели. В ходе этого анализа исследуются показатели качества САУ, в число которых могут входить точность САУ, её устойчивость и быстродействие. Данные исследования могут выявить необходимость корректировки рассматриваемой САУ для того, чтобы она обеспечивала заданные показатели качества. Наиболее часто для построения математических моделей САУ используют линейные дифференциальные уравнения. В связи с этим вводятся следующие определения. Линейная САУ – система, которая может быть описана линейными дифференциальными уравнениями. В противном случае САУ называется нелинейной САУ. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n -го порядка, связывающее входное воздействие САУ x(t), действующие на САУ возмущающие воздействия и её выходную величину y(t):
, (2.1) где – внешние возмущающие воздействия, в число которых могут входить законы изменения во времени нагрузки, помехи и т.п.;
, , , j1=1…L; j2=0…k1, 0…k2, 0…kL – постоянные коэффициенты, называемые параметрами системы. Дифференциальное уравнение (2.1) позволяет описать процессы в САУ вне зависимости от её физической природы, происходящие в ней под влиянием входного и возмущающих воздействий. Форма записи этого дифференциального уравнения достаточно громоздкая, неявная, не отражающая в явном виде физической сущности САУ. Поэтому для устранения этих недостатков уравнение (2.1) принято записывать с учётом следующих требований: 1) выходная величина и её производные записываются в левой части дифференциального уравнения, входная величина и все её производные – в правой части уравнения. При этом происходит устранение неявности в форме записи дифференциального уравнения (2.1); 2) все производные располагаются по порядку, начиная со старших; 3) уравнение (2.1) должно быть преобразовано таким образом, чтобы при выходной величине (производной нулевого порядка) был бы коэффициент, равный единице. При этом правая и левая части уравнения (2.1) приобретают размерность выходной величины, что выявляет физическую сущность САУ. Коэффициенты, входящие в уравнение (2.1), после данного преобразования приобретают физический смысл, отражающий статические и динамические свойства САУ. Учитывая вышеперечисленные требования и разделив обе части уравнения (2.1) на Cn, преобразуем его к виду
, (2.2) где , – постоянные коэффициенты, отражающие статические и динамические свойства САУ относительно выходной величины; , i=0…m; , j1=1…L; j2=0…k1, 0…k2, 0…kL – коэффициенты, называемые коэффициентами преобразования. Полученное таким образом дифференциальное уравнение (2.2) решается относительно выходной величины y(t). Решением линейного дифференциального уравнения (2.2) является функция y(t), соответствующая изменению выходной величины с течением времени. В общем случае y(t) определяется как , (2.3) где – свободная составляющая решения уравнения (2.2), зависящая от свойств рассматриваемой САУ и от начальных условий, которые в частном случае могут быть нулевыми: (2.4) – вынужденная составляющая решения уравнения (2.2), определяемая видом её правой части (т.е. входным и возмущаемыми воздействиями) и свойствами рассматриваемой САУ. Свободная составляющая определяется из решения уравнения (2.2) при отсутствии правой части: . (2.5) В общем виде может быть записана как , (2.6) где – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (2.4); – корни характеристического уравнения, которое путём замены , и т.д. получается из (2.5): . (2.7) После чего уравнение решается относительно s. Вынужденная составляющая решения дифференциального уравнения (2.2) , как уже было сказано, определяется исходя из вида правой части уравнения (2.2). Но поскольку правая часть уравнения (2.2) имеет достаточно сложный характер, в данном случае для определения вынужденной составляющей уравнения (2.2) необходимо воспользоваться принципом суперпозиции, тогда может быть представлена в виде , (2.8) где – вынужденная составляющая решения уравнения (2.2), определяемая его правой частью, в которой присутствует только сигнал входного воздействия САУ x(t): (2.9) , i=1…L – вынужденная составляющая решения уравнения (2.2), определяемая его правой частью, в которой присутствует только i -е возмущающее воздействие: (2.10)
2.2. Линеаризация дифференциальных уравнений САУ
В общем случае САУ должна быть представлена нелинейным дифференциальным уравнением вида . (2.11) Поскольку анализ процессов, протекающих в САУ, проводить на основе нелинейного дифференциального уравнения (2.11) затруднительно, путём введения дополнительных допущений производят его упрощение. При этом нелинейное дифференциальное уравнение (2.11) сводится к линейному дифференциальному уравнению вида (2.2), а сам процесс сведения нелинейного дифференциального уравнения к линейному называют линеаризацией. Существуют два случая, когда линеаризация необходима: 1) когда имеется описание САУ с помощью нелинейного дифференциального уравнения (2.11) и необходимо на его основе получить линейное дифференциальное уравнение вида (2.2); 2) когда нет описания САУ и его необходимо получить в виде линейного дифференциального уравнения (2.2). Линеаризацию нелинейной функции в окрестности точки (у0, x0) можно произвести с использованием ряда Тейлора: . (2.12) Предполагаем, что величина окрестности достаточно мала, в этом случае слагаемыми в уравнении (2.12), начиная со второго, можно пренебречь. Тогда (2.12) принимает следующий вид: , (2.13) что соответствует уравнению прямой линии. Если же нелинейная функция является функцией нескольких переменных, как, например, (2.11), тогда все входящие в выражение нелинейные функции линеаризуют вышеуказанным способом. В этом случае (2.11) преобразуется к виду (2.14) Особенность рассмотренного способа линеаризации в том, что линеаризованное уравнение (2.14), полученное из (2.11), справедливо только в узких окрестностях рассматриваемой точки (x0, y0). Чаще всего на практике для линеаризации нелинейной функции применяют следующий способ: выделяют рабочий диапазон изменения управляемых параметров, после чего в стадии описания элементов функциональных схем САУ все нелинейные зависимости заменяются приближёнными линейными, предполагая, что управляемые параметры изменяются в пределах рабочего диапазона.
2.3. Преобразование Лапласа и его свойства
При анализе САУ широкое применение получил математический метод – преобразование Лапласа. Данное преобразование существенно облегчает исследования сложных САУ, поскольку дифференциальные уравнения, описывающие САУ, заменяются алгебраическими. Преобразование Лапласа преобразует функцию вещественного переменного в функцию комплексного переменного , где p=a+jw – некоторый комплексный аргумент. Данное преобразование осуществляется посредством соотношения . (2.15) Функция называется оригиналом, – изображением. Часто преобразование (2.15) кратко обозначают как или . Для выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы оригинал удовлетворял теореме Дирехле: должна быть определена на всей числовой оси, при t =0 , а также должна быть ограниченной по величине. Для рассматриваемых САУ, которые описываются дифференциальным уравнением (2.2), эти условия выполняются. Преобразование Лапласа обладает следующими свойствами: 1) свойством линейности преобразования: ; (2.16) 2) свойством дифференцирования оригинала: ; (2.17) 3) свойством интегрирования оригинала: ; (2.18) 4) свойством сдвига аргумента оригинала: ; (2.19) 5) свойством сдвига аргумента изображения: . (2.20) В общем случае изображение , полученное на основании оригинала , представляет собой следующее: , (2.21) при этом . Обратное преобразование Лапласа имеет вид , (2.22) где С – константа сходимости, которая принимается таким образом, чтобы все полюса функции F(p) лежали бы левее значения функции f(t). Кратко обратное преобразование Лапласа обозначают или . Поскольку на практике применение обратного преобразования Лапласа в виде (2.22) вызывает затруднения, используют преобразование Хевисайда, полученное на основе (2.22): , (2.23) где – корни полинома изображения (2.21).
2.4. Численное решение дифференциальных уравнений САУ
Для решения дифференциального уравнения (2.2) с помощью численных методов его необходимо преобразовать в систему, состоящую из n -дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого правую часть уравнения (2.2) обозначим как
. (2.24)
Кроме этого, введём обозначения , где i=1, …, (n-1). Тогда (2.2) будет иметь вид . (2.25) После несложных математических преобразований и с учётом введённых обозначений получаем систему из n -дифференциальных уравнений первого порядка: (2.26) Полученная форма записи системы дифференциальных уравнений называется нормальной формой Коши. При известном входном воздействии x(t) и начальных условиях (2.4) данная система уравнений (2.26) может быть решена с использованием ряда численных методов типа Рунге–Кутты [5]. Решение системы (2.26) в данном случае будет справедливо только для определённого интервала [ t0, tmax ], а само решение системы будет представлять собой совокупность точек (ti, y(ti)) i=0, …M, по которым затем производится построение графика y(t). Особенность данных методов – большой объём вычислений, поэтому их применение требует использования вычислительной техники. Кроме этого, данные методы дают только приближённое решение системы дифференциальных уравнений (2.26) на рассматриваемом интервале [ t0, tmax ].
|