Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Линейные преобразования (операторы). ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
8.8. Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей. Найти матрицу оператора в базисе из собственных векторов. Общие сведения и расчётные формулы: для выполнения задания необходимо знать: Если задана матрица линейного преобразования, то можно записать характеристическую матрицу и характеристический многочлен этого преобразования: = → = =0. Решая уравнение: =0, находят характеристических корней этого многочлена: = . Эти корни являются собственными значениями линейного преобразования , используя которые, можно записать для некоторого вектора : = , вектор в этом случае называют собственным вектором преобразования , соответствующим собственному значению . Для нахождения собственных векторов линейного преобразования , соответствующих характеристическому корню , необходимо найти ненулевые решения системы линейных уравнений: = · =0. (1) Если в качестве базиса линейного векторного пространства выбрать все собственные векторы, то матрица линейного преобразования будет иметь в этом базисе самый простой вид, а именно: . Примеры (и образец оформления): Пример – 1: Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей: = . Найти матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования. Решение: Схема решения: 1) составляем характеристический многочлен и находим его корни; 2) составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов; 3) находим поочередно для каждого собственного значения собственные векторы линейного преобразования. 4) строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования. 1). В нашем случае характеристический многочлен имеет вид: = = – –(2+ ) = –( +1)3, его корни: = –1, кратности 3. 2). Составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов: == (1) 3). Находим собственные векторы линейного преобразования, используя общую запись системы уравнений в виде (1) для = –1: ® где x3 свободная неизвестная; пусть x3 = –с, тогда x1 = с, x2 = с, получаем: = с(1, 1, –1). 4). Строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: . Ответ: собственные значения: = –1, кратности 3; собственные векторы линейного преобразования имеют вид: = с× (1, 1, –1), где с ¹ 0. Матрица преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: . Пример – 2: Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей: = . Найти матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования. Решение: Схема решения: 1) составляем характеристический многочлен и находим его корни; 2) составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов; 3) находим поочередно для каждого собственного значения собственные векторы линейного преобразования. 4) строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования. 1). В нашем случае характеристический многочлен имеет вид: = = = –( –2) = = ( –2) ( –1) –3(λ –2) = – ( +1)( +2)( –2), его корни: = –1, = –2, = 2. 2). Составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов: == (1) 3). Находим собственные векторы линейного преобразования, используя общую запись системы уравнений в виде (1): для = –1: ® где свободная неизвестная; пусть = , тогда = , = , получаем: = ·(1, 1, 1). для = –2: ® где свободная неизвестная; пусть =3 , тогда =2 , =3 , получаем: = ·(2, 3, 3). для = 2: ® где свободная неизвестная; пусть =7 , тогда =4 , = , получаем: = ·(4, 1, 7). 4). Строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: . Ответ: собственные значения: = –1, = –2, = 2; собственные векторы линейного преобразования имеют вид: = ·(1, 1, 1), где ¹ 0; = ·(2, 3, 3), где ¹ 0; = ·(4, 1, 7), где ¹ 0. Матрица преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: . Варианты индивидуальных заданий:
|