Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Принцип возможных перемещений
Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю: . Этот принцип позволяет исключить из рассмотрения все заранее неизвестные реакции связей. Равновесие рычага (золотое правило механики) Представим рычаг, вращающийся на шарнире О, на концах которого действуют силы и . Обозначим АО = а, ВО = в. Дадим системе возможное перемещение, тогда точки А и В сместятся соответственно на d Q и d P. Получим , а так как dQ = а·dj и dР = в · dj , то Ра · dj – Qв · dj = 0. Сократив на dj, получим . Это и есть условие равновесия рычага. Очевидно, что это уравнение моментов относительно точки О. . Если рычаг находится в равновесии под действием двух сил, то возможные перемещения точек приложения сил обратно пропорциональны этим силам. Это можно сформулировать так: то, что выигрывается в силе, теряется в скорости (золотое правило механики).
Принцип Даламбера–Лагранжа (общее уравнение динамики) Принцип возможных перемещений дает общий метод решения задач статики. С другой стороны, принцип Даламбера позволяет использовать методы статики при решении задач динамики. Следовательно, применение этих принципов одновременно позволит получить общий метод решения задач динамики. Пусть дана система материальных точек А 1, А 2,... Аn. Если ко всем точкам системы, кроме действующих на них активных сил и реакций связей, приложить еще и силы инерции , то, согласно принципу Даламбера, система будет находится в равновесии. В соответствии с принципом возможных перемещений: . Если связи идеальные, то последняя сумма равна нулю, тогда: . Это и есть принцип Даламбера–Лагранжа: при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение, выражающее этот принцип, называют общим уравнением динамики. В аналитической форме оно имеет вид: . Если система представляет собой совокупность каких-нибудь твердых тел, то для составления уравнения нужно к действующим на каждое тело активным силам прибавить в любом центре силу, равную главному вектору сил инерции, и пару с моментом, равным главному моменту сил инерции относительно этого центра, а затем применить принцип возможных перемещений. Пример. В подъемнике, изображенном на рисунке, к шестерне 1, имеющей массу m 1 и радиус R 1, приложен вращающий момент М. Определить ускорение поднимаемого груза 3 весом Q, пренебрегая весом веревки и трением в осях. Барабан, на который наматывается веревка, жестко скреплен с другой шестерней; их общая масса равна m 2, радиус инерции равен i 2, радиусы шестерен равны соответственно R 1 и R 2. Решение. Обозначим на рисунке все активные силы (в данном случае это силы тяжести тел) и применим к системе принцип Даламбера. Для этого приложим к грузу 3 силу инерции и к дискам 1 и 2 – моменты сил инерции . Теперь система находится в равновесии, и к ней можно применить принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа). Для этого сообщим, например, грузу 3 возможное перемещение d 3. Диски при этом получат перемещение dj 1 и dj 2 . Согласно принципу Даламбера–Лагранжа, сумма работ всех активных сил и всех сил инерции на возможном перемещении системы должна быть равна нулю. Следовательно, . Выразим все перемещения через d 3. Для простоты решения задачи сначала выразим скорости всех тел через скорость груза 3. Т.к. связи дифференциальные и интегрируемые, перемещения и ускорения тел будут подвержены тем же зависимостям: . Далее выразим моменты и силы инерции с учетом уже полученных зависимостей: ; ; . Подставим полученные значения в уравнение возможных работ. Далее, сократив левую и правую части уравнения на d 3 , выразим a 3.
откуда .
|