Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба
Определение 2.7: Кривая называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка. Определение 2.8: Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка. yy
xx Определение 2.9: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции. Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх на этом промежутке. Определение 2.10: Точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба. y
x Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв. Правило нахождения точек перегиба графика функции 1. Найти вторую производную . 2. Найти критические точки II рода функции , т.е. точки, в которой обращается в нуль или терпит разрыв. 3. Исследовать знак второй производной впромежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если при этом критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то является абсциссой точки перегиба графика функции. 4. Вычислить значения функции в точках перегиба.
Пример 1: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: . Решение: Находим , . Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение . .
Ответ: Функция выпукла вверх при ; функция выпукла вниз при ; точка перегиба .
|