Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Оптимизация работы объекта управления для одного и нескольких параметров оптимизации для одно- и многоэкстремальной поверхности отклика
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ ОДНОМ ЭКСТРЕМУМЕ Первым этапом оптимизации технологических процессов является определение критерия оптимизации - функции отклика У. Задача оптимизации сводится к нахождению таких условий проведения процесса, при которых критерий оптимизации достигает экстремума. (примеры экстремумов max и min). Сложность процессов делает нецелесообразным полную расшифровку механизма явлений, происходящих в них. А также невозможность аналитического определения максимума. Действительно, если аналитическая зависимость Y(Xi) неизвестна, нельзя найти экстремум путем решения системы дифф. уравнений Тогда желательно научиться управлять процессом эмпирически, а для описания технологических процессов наиболее приемлемыми являются имитационные модели, например, в виде полинома n-го порядка, а при исследовании процессов экспериментально - статистические методы. Значения функции отклика У определяется как сумма истинного значения уист и случайной ошибки опыта Δ Геометрическое изображение функции отклика в факторном пространстве называется- поверхностью отклика. При поиске экстремальной точки осуществляется локальное изучение поверхности отклика по результатам ряда опытов, специально поставленных около исходной точки. Движение к экстремуму в n-мерном пространстве независимых переменных осуществляется обычно не непрерывно, а шагами. Существуют несколько экспериментальных методов организации движения. Метод Гаусса — Зайделя. (" покоординатный", самый ранний) При оптимизации по этому методу последовательное продвижение к экстремуму осуществляется путем поочередного варьирования каждым фактором до достижения частного экстремума функции отклика (рис. 1 для 2-х факторов).
Рис. 1. Поиск экстремума функции отклика методом Гаусса - Зайделя
На рисунке изображены кривые равного уровня выхода функции отклика У для одного из технологических процессов, аналогично кривым равной высоты на географических картах. На основании эксперимента в исходной точке определяется направление по координате Х1 или Х2 (например Х2, см. рис.) которое приводит к увеличению функции Y(X). Двигаемся в этом направлении, проверяя значение Y пока Y увеличивается, а затем - в том направлении Х1, которое также приводит к увеличению Y. Таким образом, перемещаемся попеременно вдоль каждой из координатных осей факторного пространства; переход к новой (t+1)-й координате осуществляется при достижении частного экстремума целевой функции Y(X) по предыдущей координате, где частная производная =0: Поиск экстремума прекращается в точке, движение из которой в любом направлении не приводит к увеличению значения выходного параметра (функции отклика У). Точность определения оптимальной точки зависит от шага варьирования и, иногда, для увеличения точности уменьшают величину шага при приближении к экстремуму. При выборе исходной точки и шага варьирования необходимо учитывать свойства процесса, особенности технологии и методов измерения, т. е. привлекать всю априорную информацию. Метод Гаусса - Зайделя и его разновидности широко распространены на практике. Обычно экспериментаторы стараются изменять факторы по очереди, варьируя одним и стабилизируя в данной серии опытов другие факторы. Это связано с тем, что таким образом удается получить зависимость Y только от одного фактора, при этом такую зависимость легко представить графически; можно подобрать эмпирическую функцию и объяснить полученные результаты. Основным недостатком метода являются большие временные затраты при движении к оптимуму. Особенно сильно этот недостаток проявляется при большом числе факторов. Метод случайного поиска. Характерной чертой этого метода является случайный выбор направления движения на каждом шаге, т. е. одновременное изменение значений сразу всех факторов. Так, если изображающая точка после i-го шага занимает Xi положение в факторном пространстве, то следующий рабочий шаг будет совершен лишь после выполнения пробного эксперимента в точке Xi, = Xi + Z, где Z — случайный вектор определенной длины рис..2).
Рис. 2. Поиск экстремума функции отклика методом случайного поиска
Значения функции Y (Х i) и Y(Xi + Z) сравниваются и производится (i+l)-й рабочий шаг вдоль вектора по направлению к экстремуму. Как правило, длина рабочего шага превышает длину пробного. Критерием выхода в область экстремума целевой функции является возрастание числа неудачных шагов. Очевидно, что метод случайного поиска очень прост, однако он применим лишь для очень простых ситуаций. Основными недостатками метода являются большая трудоемкость и длительность поиска экстремума, а также возможность ошибки при попадании в область локального экстремума, т.к. поверхность отклика не исследуется.
|