Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Распространение тепла в среде. Вывод уравнения теплопроводности.Стр 1 из 4Следующая ⇒
Распространение тепла в среде. Уравнение теплопроводности. Решение уравнения теплопроводности для стержня. Моделирование процесса распространения тепла в стержне. Распространение тепла в среде. Вывод уравнения теплопроводности. Рассмотрим некоторый малый объем среды . Каждая точка этого объема описывается тремя пространственными координатами (рис. 1).
Рисунок 1. Выделенный объем среды
Пусть температура в каждой точке объема описывается функцией (зависит от координат и времени). Каждая точка объема служит источником тепловой энергии. Будем описывать интенсивность (мощность) источников тепла функцией - т.е. каждая точка среды излучает/поглощает тепло с интенсивностью, зависящей от координат и времени. Чтобы оценить суммарную мощность всех точек объема (иначе – полную тепловую мощность объема) в любой момент времени необходимо взять интеграл от функции по все трем координатам (всему объему):
(здесь - малый элемент объема).
Согласно первому закону термодинамики, изменение энергии системы равно количеству теплоты сообщенной системе (без совершения работы): . Изменение энергии связано с мощностью соотношением . Отсюда . Тем самым, полное количество тепла, выделившееся в объеме за счет действия источников тепла с суммарной мощностью за промежуток времени определиться следующим образом:
(1)
Выделившееся тепло идет на нагрев объема (повышение его температуры) и на теплопередачу (обмен с теплом с внешней по отношению к объему средой).
1.1 Уравнение процесса нагрева Уравнение для количества теплоты при нагревании/охлаждении каждой точки объема записывается следующим образом:
(2)
где - удельная теплоемкость, - масса - изменение температуры в каждой точке объема. Данное соотношение необходимо рассмотреть для каждой точки объема, характеризующейся своей удельной теплоемкостью и массой. Примем, что удельная теплоемкость во всех точек одинакова, а вместо массы будем использовать зависимость , где - удельная плотность, также одинаковая для всех точек объема. Теплота участвующая в процессе нагрева идет на повышение температуры каждой точки объема – т.е. происходит изменение функции : - в начальный момент времени температура равна - через промежуток времени температура станет равной Приращение температур определится как . Отсюда выражение (2) запишется в следующем виде:
Соответственно для всего объема:
.
Переходя к дифференциальным величинам, предел отношения приращения температур ко времени запишем как частную производную . Отсюда и окончательно:
(3)
1.2 Уравнение процесса теплопередачи
Теплопередача происходит на границе объема – т.е. сквозь поверхности куба. Уравнение для теплопередачи составляется на основе закона Фурье:
(4)
где - коэффициент теплопроводности, - вектор наискорейшего возрастания температуры, - вектор плотности теплового потока. Знак минус в этом уравнении означает, что направление вектора противоположно градиенту температуры - т.е. в сторону наибольшего убывания температуры. Т.к. тепловой поток – это количество теплоты в единицу времени , а плотность теплового потока – это тепловой поток, отнесенный к единице поверхности , то соотношение (4) записанное относительно количества теплоты будет выглядеть следующим образом:
Отсюда полное количество теплоты на теплопередачу, передаваемое через всю поверхность объема определиться как:
(5) 1.3 Балансовое уравнение
Объединяя уравнения (1), (3) и (5) получим следующее балансовое уравнение: (6)
Это уравнение говорит о следующем: источники тепла с интенсивностью будут создавать тепло по всему объему , которое будет тратиться на нагревание каждой точки тела (со скоростью нагрева зависящей, в том числе, от удельной теплоемкости и плотности в точке) и на передачу тепла через поверхность объема - по направлению наибольшего падения температуры. Верно и обратное суждение – входящий через поверхность поток тепла будет идти на нагрев объема и на изменение его внутренней энергии. В уравнении (6) интегралы берутся по объему и площади, поэтому переменную можно исключить из интегралов, что дает следующее соотношение:
Переменную можно сократить, что означает, что данное соотношение остается справедливым для любого промежутка времени:
(7)
В уравнении (7) два интеграла зависят от объема и один от площади. Согласно теореме Остроградского – Гаусса можно перейти от интеграла по поверхности к интегралу по объему: в результате чего, получим:
Используя соотношение , где - оператор Лапласа (лапласиан) в декартовых координатах, получим:
Т.к. интеграл во всех слагаемых берется по объему:
В силу произвольности объема, интеграл будет равен нулю только, если будет равно нулю подынтегральное выражение:
и окончательно (8)
где , .
Уравнение (8) называются уравнением теплопроводности. Его можно трактовать следующим образом: изменение температуры в каждой точки среды со временем определяется распределением температуры в пространстве и действием источников энергии в каждой точке. В краткой записи уравнение теплопроводности обычно записывают следующим образом:
(9) 1.4 Частные случаи уравнения теплопроводности.
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения теплопроводности: 1. Распространение тепла без тепловыделения, когда в рассматриваемой области отсутствуют источники тепла, т.е. при . Уравнение теплопроводности в этом случае будет записываться в следующем (полном и сокращенном) виде:
(10)
2. Распространение тепла при установившемся потоке тепла, когда изменения температуры по времени не происходит, т.е. - переходный процесс прекращается и рассматривается установившийся (стационарный) процесс:
(11)
Данное уравнение называется уравнением Пуассона.
3. Распространение тепла при установившемся потоке тепла и без тепловыделения, т.е. при и :
(12)
Данное уравнение называется уравнением Лапласа.
|