Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Момент силы относительно оси
Проекция момента силы относительно точки на некоторую ось, проходящую через эту точку называется моментов силы относительно оси. Момент силы относительно оси вычисляется как момент проекции силы F⃗ F→ на плоскость Π Π, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью Π Π:
Mz(F⃗)=Mz(F⃗ Π)=±FΠ h.Mz(F→)=Mz(F→ Π)=±FΠ h.
Моментом силы относительно неподвижной точки называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора, проведенного из точки О в точку А приложения, на силу. Моментом силы относительно неподвижной оси называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки данной оси. Значение момента не зависит от выбора положения точки на оси. 24 Момент импульса относительно точки и оси
Моментом импульса МТ относительно неподвижной точки называется физическая величина, определяемая векторным произведением L=rp, где, L-псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p. Моментом импульса относительно неподвижной оси называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки данной оси. Момент импульса не зависит от положения точки на оси.
25 Момент инерции тела. Его вычисление Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех материальных точек, составляющих данное тело
В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами , и моменты инерции тела определяется интегралом
о где - расстояние от элемента до оси вращения. Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью
где m - масса однородного тела, V - его объем. Для тела с неравномерно распределенной массой это выражение даетсреднюю плотность. Плотность в данной точке в этом случае определяется следующим образом и тогда
Пределы интегрирования зависят от формы и размеров тела Интегрирование уравнения (5.5) наиболее просто осуществить для тех случаев, когда ось вращения проходит через центр тяжести тела. Рассмотрим результаты интегрирования для простейших (геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему. Момент инерции полого цилиндра с тонкими стенками, радиуса R. Для полого цилиндра с тонкими стенками Сплошной однородный диск. Ось вращения является осью диска радиуса . и массы m с плотностью Высота диска h. Внутри диска на расстоянии вырежем пустотелый цилиндр с толщиной стенки и массой . Для него Весь диск можно разбить на бесконечное множество цилиндров, а затем просуммировать: Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр тяжести. Момент инерции стержня длиной L и массой m относительно оси, проходящей: а) через центр стержня - б) через начало стержня - Теорема Штейнера. Имеем тело, момент инерции которого относительно оси, проходящей через его центр масс известен. Необходимо определить момент инерции относительно произвольно оси параллельной оси . Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:
Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс н материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Суммирование производится по всем элементарным массам, на которые разбивается тело. В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу, где интегрирование производится по всему объему тела. 26 Теорема Штейнера Теоре́ ма Гю́ йгенса — Ште́ йнера (теорема Гюйгенса, теорема Штейнера): момент инерции тела относительно произвольной неподвижной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями[1]: где — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела, — искомый момент инерции относительно параллельной оси, — масса тела, — расстояние между указанными осями.
Согласно теореме Штейнера, установлено, что момент инерции тела при расчете относительно произвольно оси соответствует сумме момента инерции тела относительно такой оси, которая проходит через центр масс и является параллельной данной оси, а также плюс произведение квадрата расстояния между осями и массы тела, по следующей формуле (1): J= J0 + md2 (1) Где в формуле принимаем соответственно величины: d – расстояние между осями ОО1║ О’O1’; J0 = Jd = mR2/2 (2)
Так как d = R, тогда и момент инерции относительно оси, которая проходит через указанную на рисунке точку А будет определяется формулой (3): J = mR2 + mR2/2 = ⅔ mR2 (3) Теорема Штейнера - момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями. 27 Уравнение динамики вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения Согласно уравнению (5.8) второй закон Ньютона для вращательного движения
По определению угловое ускорение и тогда это уравнение можно переписать следующим образом с учетом (5.9) или
Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.
Если ось совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство M=IE, где I - главный момент инерции тела. 28 Закон сохранения момента импульса. Условие его выполнения
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства - его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол). 29 Работа и кинетическая энергия при вращательном движении Работа и кинетическая энергия при вращательном движении твердого тела. Найдем работу при вращательном движении твердого тела. Пусть ось вращения проходит через точку О, находящуюся на расстоянии r от точки приложения силы С, а > a ‑ угол между векторами и (рис.3.5). При повороте тела на бесконечно малый угол dj точка приложения силы проходит путь dS=rdj. Работа силы равна произведению проекции силы вдоль смещения Fsin(a) на величину этого смещения r dj. . Но F× r× sin(a) = M - момент силы. Таким образом: работа силы при вращении тела вокруг неподвижной оси равна произведению момента действующей силы на угол поворота dA = Mdj. Чтобы рассчитать кинетическую энергию вращательного движения твердого тела, мысленно его разобьем на n материальных точек с массами m1, m2,..., mn, находящихся на расстояниях r1, r2,..., rn от оси вращения. Так как тело абсолютно твердое, угловые скорости всех его точек одинаковы . Линейные скорости точек будут разные > , и т.д. Кинетическая энергия вращающегося тела Ек.вр равна ; . Работа внешних сил при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии. dA=dЕк.вр, следовательно работу можно представить как разность кинетических энергий конечного и начального положений Если тело катится без скольжения, то оно одновременно участвует в двух движениях: поступательном и вращательном, его кинетическая энергия . Основное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Воспользуемся соотношением, приведенным выше dA=dEвр, т.е. Поделим обе части равенства на dt: и так как , а , то или В векторном вид > или представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела. Угловое ускорение, приобретаемое телом при вращении его вокруг неподвижной оси, прямо пропорционально вращающему моменту сил и обратно пропорционально моменту инерции тела. По форме оно сходно с уравнением II закона Ньютона. Из их сопоставления вытекает, что при вращательном движении роль массы играет момент инерции, роль линейного ускорения - угловое ускорение, роль силы - момент силы. Ранее получено, что > . Возьмем первую производную по времени от этого равенства . Это выражение есть вторая (более общая) форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела: Скорость изменения момента импульса тела равна результирующему моменту всех внешних сил, > (оно сходно с законом динамики поступательного движения: ). Если на тело не действуют внешние силы или система тел замкнутая, то момент сил > и , откуда и получаем закон сохранения момента импульса: Момент импульса замкнутой системы тел остается постоянным во времени. Аналогом его в поступательном движении является > закон сохранения импульса замкнутой системы тел. Закон сохранения момента импульса справедлив и для тел, размеры, форма и момент инерции которых могут меняться в ходе движения. Поскольку величина , то при увеличении момента инерции J, угловая скорость w уменьшается и наоборот. К примеру, акробат, совершая переворот в воздухе, чтобы увеличить угловую скорость своего вращения, группируется, т.е. прижимает к себе руки и ноги. При этом его момент инерции уменьшается. Колебательными называются процессы в той или иной степени повторяющиеся во времени. Виды колебаний: Свободными колебаниями называются колебания, которые возникают в колебательной системе, в отсутствии внешних воздействий. Эти колебания возникают в следствии какого-либо начального наклонения колебательной системы от положения равновесия. Вынужденные колебания – это колебания, возникающие в колебательной системе под влиянием переменного внешнего воздействия. Работа и кинетическая энергия при вращательном движении
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Если мысленно разбить это тело на n точек массами m1, m2, …, mn, находящихся на расстояниях r1, r2, …, rn от оси вращения, то при вращении они будут описывать окружности и двигаться с различными линейными скоростями v1, v2, …, vn. Так как тело абсолютно твердое, то угловая скорость вращения точек будет одинакова: Кинетическая энергия вращающегося тела есть сумма кинетических энергий его точек, т.е. Учитывая связь между угловой и линейной скоростями, получим: Сопоставление формулы (4.9) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно со скоростью v, показывает, что момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении. (4.10) где vc – скорость центра масс тела; Jc - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс. 30 Таблица аналогий поступательного и вращательного движений в динамике
|