Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Формальная постановка задачи оптимизации
Наблюдаем каким образом можно запутать простые вещи и пытаемся привыкнуть к несложной математической нотации. Почти формальная запись задачи оптимизации имеет вид: (1) где – вектор искомых переменных ; – целевая функция; exstremum – абстрактный идентификатор, заменяемый в конкретных задачах идентификатором или ; – система отношений, определяющая множество допустимых значений искомых переменных. Представив в виде системы, можно получить следующую формальную запись задачи оптимизации: (2) где , – символы операций отношения, т. е. элементы множества ; , – выражения, определяемые конкретикой решаемой задачи, их мы назвали вспомогательными функциями; очень часто эти функции являются вырожденными, – представляют собой искомые переменные и/или константы задачи. А теперь вспоминаем следующее: фактически и целевая функция, и вспомогательные функции являются функциями не только искомых переменных, но и констант задачи, т. е. правильнее было бы вместо , , писать так: , , где – вектор констант задачи. К сожалению, так писать не принято: из-за стремления к компактности записи формул и желания «сосредоточить внимание на главном», кроме того, константы, вообще не принято называть аргументами, их называют параметрами, и в обозначение функции обычно не включают. Итак, запоминаем: и целевая функция, и вспомогательные функции в общем случае имеют неотображаемые в обозначениях этих функций параметры – константы задачи. Формула (2) более точна по сравнению с нечёткой формулой (1), но одновременно и менее наглядна. Повысить наглядность формальной записи задачи оптимизации без сокращения её содержательности можно, если учесть следующие факты: 1) задачи вида и могут быть сведены к задаче путём незначительной модификации выражения целевой функции; действительно, эквивалентно , а эквивалентно ; 2) отношение любого вида может быть сведено к виду следующим путём: · правая часть отношения переносится влево для получения нуля в правой части и одного выражения в левой; · строгое неравенство можно преобразовать в нестрогое с помощью малой положительной константы , – значение которой пренебрежимо мало в рамках рассматриваемой предметной области: вычислительно эквивалентно · равенство заменяется парой нестрогих неравенств ; . Учёт перечисленных фактов позволяет получить типичную запись формальной постановки задачи оптимизации в учебнике: (3) А иногда записывают и вовсе просто: (4) Ну, теперь корректная формальная запись задачи (4) ничуть не сложнее упрощенной записи (1). Обратим внимание на следующие факты. Выражение целевой функции обязательно содержит все элементы вектора – это определяется семантикой (смыслом) понятий целевой функции и искомых переменных. В то же время выражение каждой из функций ограничений может фактически содержать только часть элементов вектора : каждое ограничение может ограничивать значения только некоторой части искомых переменных. И, наконец, главное: всё, что вы прочитали в этом пункте – чистой воды гимнастика для ума, практически полезного здесь ничего нет; в реальной практике задачу оптимизации следует формулировать в наиболее подходящем для восприятия виде, а это тот вид, который наиболее просто и естественно отражает конкретику предметной области, формально ему соответствует «несуразная» формула (2). Так зачем же я этот пункт написал? Ну, во-первых, ум тренировать полезно: умные люди живут дольше (в среднем), а во-вторых, надо быть готовым к чтению учебников.
|